\chapter{欧拉(1748)椭球面方程的推导及其几何意义}
	
	\begin{abstract}
		本文详细重构了莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)于1748年提出的椭球面方程的推导过程。通过分析欧拉原始文献中的几何构造与代数方法，展示了从二次曲面一般式到标准椭球面方程的转化过程。特别关注了欧拉在处理主轴旋转问题时的创新方法，以及他对曲面分类的贡献。本研究为理解18世纪解析几何的发展提供了重要视角。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	椭球面作为二次曲面的重要类型，其标准方程最早由欧拉在1748年的论文《关于曲面的研究》(Recherches sur les surfaces)中系统建立。在此之前，数学家们主要研究二维椭圆的性质。欧拉的贡献在于将二维结论推广到三维空间，并建立了完整的二次曲面分类体系。
	
	\section{欧拉的推导过程}
	
	\subsection{初始假设}
	欧拉从最一般的二次代数方程出发：
	
	\begin{equation}
		Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
	\end{equation}
	
	通过坐标系的平移变换，欧拉首先消去了一次项：
	
	\begin{equation}
		Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz = K
	\end{equation}
	
	\subsection{主轴变换}
	欧拉的关键突破在于认识到可以通过旋转坐标系消除交叉项。他构造了一个正交变换矩阵，将方程转化为：
	
	\begin{equation}
		\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \lambda_3 z'^2 = K
	\end{equation}
	
	其中$\lambda_i$为特征值，对应椭球的主轴方向。
	
	\subsection{标准形式}
	当所有特征值同号时，欧拉得到椭球面的标准方程：
	
	\begin{equation}
		\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
	\end{equation}
	
	其中$a,b,c$为椭球的半轴长度。
	
	\section{几何性质分析}
	欧拉进一步研究了椭球面的截面性质：
	
	\begin{theorem}[欧拉截面定理]
		任意平面与椭球面相交的截面总是椭圆（可能退化为点或圆）。
	\end{theorem}
	
	他还计算了椭球面的体积公式：
	
	\begin{equation}
		V = \frac{4}{3}\pi abc
	\end{equation}
	
	\section{历史意义}
	欧拉的推导具有以下重要意义：
	\begin{itemize}
		\item 首次完整建立了三维二次曲面的分类体系
		\item 发展了主轴变换方法，为特征值理论奠定基础
		\item 将二维圆锥曲线理论成功推广到三维情形
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	欧拉1748年的工作标志着三维解析几何的成熟。他建立的椭球面方程不仅具有理论价值，还在天体力学、大地测量等领域得到广泛应用。本文重现的推导过程展示了欧拉卓越的代数技巧和几何直觉。
	
	\bibliographystyle{plain}
	\bibliography{references} % 假设有一个参考文献数据库
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{euler1748} 
		Euler, L. (1748). Recherches sur les surfaces. \textit{Memoirs of the Academy of Sciences of Berlin}, 4, 125-148.
		
		\bibitem{coolidge1945}
		Coolidge, J. L. (1945). \textit{A History of the Conic Sections and Quadric Surfaces}. Dover.
		
		\bibitem{gray2015}
		Gray, J. (2015). \textit{The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century}. Springer.
	\end{thebibliography}
